Perpangkatan dan Bentuk Akar Materi 1 Matematika kelas 9

BILANGAN BERPANGKAT

A.          Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat merupakan suatu bilangan yang berguna untuk menyederhanakan penulisan serta penyebutan suatu bilangan yang mempunyai faktor-faktor perkalian yang sama.

Sebagai contoh: 3x3x3x3x3=… atau 7x7x7x7x=… , dan lain sebagainya.

Perkalian berbagai bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas pada umumnya disebuat dengan perkalian berulang.

Apa itu yang dimaksud sebagai eksponen? eksponen merupakan penyebutan lain dari pangkat. Bilangan berpangkat positif mempunyai sifat-sifat tertentu, yang mana bilangan tersebut terdiri atas a, b, sebagai bilangan real dan m, n, yang merupakan bilangan bulat positif.

Bilangan Eksponen merupakan suatu bentuk pada bilangan perkalian dengan bilangan yang sama kemudian di ulang-ulang atau pengertian singkatnya yaitu perkalian yang diulang-ulang.

Bayangkan apabila yang dikalikan angkanya sangat banyak, maka kita juga akan mengelami kesulitan di dalam dalam penulisannya.

Masing-masing perkalian berulang bisa kita tuliskan secara ringkas dengan memakai notasi angka bilangan berpangkat.

Sebagai contoh:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 bilangan tersebut bisa kita ringkas kembali dengan memakai bilangan berpangkat menjadi 3⁵

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 dan angka tersebut bisa kita ringkas kembali hingga menjadi bilangan berpangkat 8¹⁰

Cara membacanya:

3⁵: Tiga pangkat 5

 8¹⁰ : Delapan pangakt 10

Pangkat di atas berguna untuk menentukan jumlah faktor yang di ulang.

Rumus bilangan berpangkat yaitu:

aⁿ=a×a×a×a…sebanyak n kali

B.  Jenis  Jenis Bilangan Berpangkat

Terdapat beberapa jenis bilangan berpangkat yang paling sering dibahas.

Antara lain yakni: bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-) serta bilangan berpangkat nol (0).

Berikut akan kami berikan penjelasan pada masig-masing jenisnya. Simak baik-baik ulasan di bawah ini ya.

1. Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan suatu bilangan yang mempunyai pangkat atau eksponen positif.

Secara umum, perkalian sembarang bilangan bulat a sebanyak n kali atau n faktor, yaitu:

a × a × a × ..... × a atau jika ditulis menjadi aⁿ

Sebagai contohnya a bilangan real serta n bilangan bulat positif. Notasi aⁿ akan menyatakan hasil kali dari bilangan a sebanyak n faktor. Sehingga dapat kita tuliskan menjadi:

aⁿ = a × a × a × … × a

Di mana : a x a x a x …. x a merupakan n faktor.

Keterangan:

• a merupakan basis bilangan berpangkat.
• n merupakan pangkat.
• aⁿ disebut sebagai bilangan brpangkat ( dibaca a pangkat n)

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa:

1.       Pada uraian di atas, maka kita sepakati, a1 cukup ditulis dengan a.

2.      Tidak seluruh a⁰ dengan a bilangan real menyatakan 1. Pada saat a = 0 serta n = 0, maka aⁿ= 0⁰, maka hasilnya tidak menentu.

3.      Apabila n merupakan suatu variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu kita perhatikan semesta variabel tersebut.
Karena aⁿ = a × a × … × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku pada saat semesta n ∈N.

Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:

1.       2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 =16

2.      3² = 3 x 3 = 9

2. Bilangan Berpangkat Negatif

Kemudian ialah pengertian dari bilangan berpangkat negatif yang merupakan bilangan yang mempunyai pangkat atau eksponen negatif (-).

Adapun beberapa sifat bilangan berpangkat negatif, antara lain ialah sebagai berikut:

Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:

a^-n = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/ a^-n

Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka di definisikan menjadi:

a^-m = (1/a)^m

Dari uraian di atas maka dapat dijelaskan lagi menjadi sebagai berikut:

Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:

 

3. Bilangan berpangkat Nol (0)

Tak hanya ada bilangan berpangkat positif serta bilangan berpangkat negatif yang ada pada bilangan berpangkat .

Ternyata, dalam ilmu matematika juga terdapa bilangan berpangkat nol (a). Maka dati itu, yuk mari kita pelajari lebih dalam mengenai bilangan berpangkat nol ini.

Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa sifat-sifat bilangan berpangkat, ialah sebagai berikut:

aⁿ/aⁿ = 1 berdasarkan dari sifat pembagian bilangan berpangkat positif maka bisa kita dapatkan:

aⁿ/aⁿ = a^n-n = a⁰, sehingga a⁰ = 1

Sehingga sifat dari bilangan berpangkat nol (0) yaitu “Jika nilai a merupakan bilangan riil serta a tidak sama dengan 0, maka :

a⁰ = 1

Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, maka a⁰ = 1.

Kenapa a tidak boleh sama dengan nol?

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, pada saat a = 0 maka a⁰ = 0⁰, maka hasil­nya tidak menentu.

Sebagai contoh:

• 2⁰ = 1
• 3⁰ = 1

 

 

C.  Sifat-sifat  Pangkat Bulat Positif

Adapun beberapa sifat dari bilangan berpangkat positif, diantaranya ialah sebagai berikut ini:

1.       a^m x aⁿ = a^m+n

2.      a^m : aⁿ = a^{m-n ,} untuk m>n dan b ≠ 0

3.      (a^m)ⁿ = a^mn

4.     (ab)^m = a^m b^m

5.      (a/b)^m = a^m/b^m , untuk b ≠ 0

 

Berikut adalah beberapa sifat dari bilangan pangkat bulat positif:

Sifat-1

Apabila a bilangan real, m serta n bilangan bulat positif maka

a^m × aⁿ = a^m+n

Pembuktian:

 

Si­fat di atas hanya berlaku apabila a merupakan bilangan real, m serta n merupakan bi­langan bulat positif. Apabila m dan n bukan bilangan bulat positif, maka sifat-1 tidak berlaku. Contohnya: a = 0 dan m = n = 0, tidak ber­laku.

Sebagai contoh:

2² x 2³ = (2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 32

= 2⁵

2² x 2³ = 2²⁺³

Sifat-2

Apabila a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, sehingga:

a^m : aⁿ = a^{m-n ,}

Dalam sifat-2 tidak diperkenakan apabila a = 0, karena ben­tuk perpangkatan pada sifat-2 merupakan bentuk ra­sional.

Pada pecahan yang penyebutnya tidak lazim nol. Pada a = 0 dan m, n merupakan bilangan bulat positif, sehingga a^m atau aⁿ dimung­kinkan hasilnya 0.

Apabila hasil a^m serta aⁿ keduanya nol, maka hasil baginya tidak menentu.

Apabila a^m = 0 dan aⁿ ≠ 0, maka hasil baginya 0. Namun, apabila a^m ≠ 0 dan aⁿ = 0, maka hasil baginya tak ter­definisi.

Sebagi contoh:

2⁵ / 2³ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 / 2 x 2 x 2

= 4

= 2²

= 2^5-3

Sifat-3

Jika a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n merupakan bilangan bulat positif, maka (a^m)ⁿ = a^mn

Pembuktian:

Sebagi contoh:

(2³)²     = (2³) x (2³)

= (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 2⁶

Di mana (2 x 2 x 2) merupakan 3 faktor, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 merupakan 6 faktor, dan lain sebagainya.

Sifat-4

Dalam sifat yang keempat dapat dituliskan rumus sebagai berikut :

a^m x b^m = (a x b)^m

Contoh soal : Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat ini 2³ x 5³?

Penyelesaian : 2³ x 5³ = (2 x 5)³ = 10³

Sifat-5

Dalam sifat yang kelima dapat dituliskan dengan rumus

Contoh soal : tentukan bentuk lain dari pembagian bilangan berpangkat 3⁵/4⁵

Penyelesaian : 3⁵/4⁵ = (3/4)⁵

 

 

D. Pangkat Pecahan 

Contohnya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, serta m merupakan bilangan bulat positif, maka a^1/m = p merupakan bilangan real positif, sehingga p^m = a.

Sifat-sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan

Pengertian:

Contonya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, m, n merupakan bilangan bulat positif maka didefinisikan menjadi:

a^m/n = (a^1/n)^m

Misalkan a merupakan bilangan real dengan a > 0,

p/n dan m/n merupakan bilangan pecahan n ≠ 0, maka:

(a^m/n) x (a^p/n) = (a)^m+p/n

Pembuktian:

Apabila a merupakan bilangan real dengan a > 0, sehingga:

m/n dan p/q bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka:

(a^m/n) x (a^p/q) = (a)^m/n+p/q

 

Rangkuman sifat bilangan berpangkat:

Untuk a, b merupakan bilangan bulat serta n, p, dan q merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku:

 

Penting Di Ingat !!!!!!!!!!!

Operasi Bilangan Berpangkat

• Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat ganjil maka akan menghasilakn bilangan negatif.
• Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat genap maka akan menghasilkan hasilnya bilangan positif.
• Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dijumlahkan.
• Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dikurangkan.
• Sebuah bilangan berpangkat apabila dipangkatkan lagi, maka pangkatnya akan menjadi dikalikan.